ljabar (dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.
Aljabar dapat dipilah menjadi kategori berikut:
- Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai “pengganti” untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.
- Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.
- Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks).
- Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.
- Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis
yang akan kita kemukakan di sini adalah aljabar dasar, tentu saja yang namarnya “dasar”, jenisnya tidaklah serumit aljabar lainya. Namun demikian, konsep dasar yang sederhana tersebut, jika dikelola dengan profesional, maka akan menghasilkan permasalahan yang kompleks dan tiada habisnya.
salah satu contoh adalah kepiawaian para perancang soal, sehingga aljabar yang sederhana itu menjadi sangat sulit dan bahkan terasa sangat berat bagi siswa. Eksplorasi berbagai bentuk soal tentang aljabar memang tiada hentinya dilakukan dilakukan oleh para pakar dan ahli matematika.
Oleh karenanya, siswa harus terus mengasah diri untuk terus berlatih mengerjakan berbagai bentuk soal, sehingga pengetahuan aljabarnya semakin kokoh. sebagai bahan perbandingan, berikut ini adalah beberapa soal yang saya kutip dari Canadian Mathematics Olympiad Challenge. Soal-soalnya menggunakan konsep aljabar sederhana, bahkan sangat sederhana, tetapi kita sangat sulit untuk dapat menyelesaikannya. Saya misalnya, membutuhkan waktu yang cukup lama untuk menyelesaikan satu nomor soal. Lantas bagaimana dengan siswa yang harus mengerjakannya dalam waktu yang sudah ditentukan.
Soal 1 (COMC – 2001)
Operasi “ ⍔ “ didefinisikan dengan a ⍔ b = 1 – a/b
Tentukan : (1 ⍔ 2) ⍔ (3 ⍔ 4)
Jawab :
(1 ⍔ 2) = 1 – ½ = ½
(3 ⍔ 4) = 1 – ¾ = ¼
(1 ⍔ 2) ⍔ (3 ⍔ 4) = 1 – ½/¼ = 1 – 2 = – 1
Soal 2 (COMC – 2002)
Operasi “ ⍔ “ didefinisikan dengan a ⍔ b = a2 + 3b
Tentukan : (2 ⍔ 0) ⍔ (0 ⍔ 1)
Jawab :
(2 ⍔ 0) = 22 + 30 = 4 + 1 = 5
(0 ⍔ 1) = 02 + 31 = 0 + 3 = 3
(2 ⍔ 0) ⍔ (0 ⍔ 1) = 52 + 33 = 25 + 27 = 52
Soal 3 (COMC – 2001)
Tentukan x : 2(22x) = 4x + 64
Jawab :
2(22x) = 4x + 64
2(22x) = 22x + 64
22x = 64 = 26
2x = 6
x = 3
Soal 4 (COMC – 2001)
Jika a adalah bilangan bulat positif dan
2x + a = y
a + y = x
x + y = z
Tentukan nilai maksimun yang mungkin untuk x + y + z
Jawab :
Jika persamaan pertama dan kedua digabungkan, maka kita dapatkan x = -2a
Dengan menggunakan nilai x tersebut dan persamaan kedua, maka kita dapatkan x = -3a
Demikian pula kita akan dapatkan nilai z = -5a
Sehingga x + y + z = -2a + -3a + -5a = -10a
Karena a adalah bilangan bulat positif, maka nilai yang tertinggi adalah -10 dengan a = 1
Soal 5 (COMC – 2002)
Jika x + y = 4 dan xy = -12, berapakah nilai x2 + 5xy + y2?
Jawab :
x + y = 4 ⟾ (x + y)2 = 16
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 16
x2 + 5xy + y2 = x2 + y2 + 2xy + 3xy = 16 + 3 x (-12)
x2 + 5xy + y2 = – 20
Soal 6 (COMC – 2004)
Jika x + 2y = 84 = 2x + y , berapa nilai x + y?
Jawab :
Ada dua buah persamaan, yaitu :
x + 2y = 84, dan
2x + y = 84
Jika kedua persamaan dijumlahkan, maka :
3x + 3y = 168
Sehingga :
x + y = 56
Soal 7 (COMC – 2004)
Fungsi f(x) memenuhi bentuk berikut :
i) f(1) = 1
ii) f(2x) = 4 f(x) + 6
iii) f(x + 2) = f(x) + 12x + 12
Tentukan f(6)!
Jawab :
f(6) = f(4 + 2) = f(4) + 12 x 4 + 12 sifat (iii)
= f(4) + 60
= f (2 . 2) + 60
= 4 f(2) + 6 + 60 (sifat ii)
= 4 f(2) + 66
= 4 {4 f(1) + 6} + 66 (sifat ii)
= 16 f(1) + 90
= 16 + 90 = 106 (sifat i)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar